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1. 有三條彩帶，一條長(zhǎng)36米，一條長(zhǎng)48米，一條長(zhǎng)24米的�，F(xiàn)在要把它們裁剪成同樣長(zhǎng)的小段，且不能有剩余，則每段最長(zhǎng)是()米。

A.9

B.12

C.15

D.16

【答案】B

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，要把它們裁剪成同樣長(zhǎng)的小段，且不能有剩余，即求三者的公約數(shù)，最長(zhǎng)的長(zhǎng)度就是最大公約數(shù)，36、48、24的最大公約數(shù)為12。

因此，選擇B選項(xiàng)。

2. 某高校要對(duì)包括211名大一新生和262名高年級(jí)學(xué)生在內(nèi)的入黨積極分子進(jìn)行分期培訓(xùn)，要求培訓(xùn)批次盡量少且每批人數(shù)相同。若有且只有一批培訓(xùn)對(duì)象同時(shí)包含大一新生和高年級(jí)學(xué)生，則該批中有多少名來(lái)自大一新生?

A.4

B.25

C.32

D.39

【答案】D

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，某高校共211+262=473(人)，根據(jù)要求人數(shù)相同，則每批次人數(shù)應(yīng)該是473的約數(shù)，473=11×43，要求批次盡可能少，可知每批培訓(xùn)43人，分11次完成。有且僅有一批對(duì)象同時(shí)包含新生與高年級(jí)同學(xué)，且211÷43=4…39，可知有39人來(lái)自大一新生。

因此，選擇D選項(xiàng)。

3. 從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)有()個(gè)。

A.25

B.23

C.17

D.7

【答案】D

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)必是完全平方數(shù);如果不是完全平方數(shù)，他們的約數(shù)都是兩兩配對(duì)，從而約數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)(如果a是自然數(shù)n的約數(shù)，那么也是n的約數(shù)，所以n的約數(shù)a與可以配成一對(duì)，只有當(dāng)n=a²時(shí)，a與才會(huì)相等)。故此題求360到630之間的完全平方數(shù)有幾個(gè)。

第三步，因19²=361、20²=400、21²=441、22²=484、23²=529、24²=576、25²=625，故從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)有7個(gè)。

因此，選擇D選項(xiàng)。

4. 用全部156個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，最多可以拼成()種形狀不同的長(zhǎng)方形。

A.4

B.5

C.6

D.7

【答案】C

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題，用枚舉法解題。

第二步，小正方形總面積為156×1×1=156，拼成不同形狀的長(zhǎng)方形，即枚舉不同的長(zhǎng)與寬，且滿足長(zhǎng)×寬=156，將156進(jìn)行因式分解，共有以下六種情況：1×156、2×78、3×52、4×39、6×26、12×13，最多可以拼成6種不同的長(zhǎng)方形。

因此，選擇C選項(xiàng)。

5. M=29×38×47×56×…×n(每?jī)蓚�(gè)連續(xù)因數(shù)的差均相等)，已知數(shù)M的末尾連續(xù)有12個(gè)“0”，則數(shù)n的最小值是：

A.470

B.515

C.560

D.1010

【答案】A

【解析】

解法一：

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題，用枚舉法解題。

第二步，10=5×2，故出現(xiàn)一對(duì)5和2，尾數(shù)就將出現(xiàn)一個(gè)0。每?jī)蓚�(gè)數(shù)字就將出現(xiàn)1個(gè)2，因此5的數(shù)量決定尾數(shù)0的數(shù)量。65是第一個(gè)5的倍數(shù)，接下來(lái)每過(guò)5×9=45個(gè)數(shù)將繼續(xù)出現(xiàn)5的倍數(shù)。枚舉可知：65=13×5，110=22×5，155=31×5，200=8×5×5，245=49×5，290=58×5，335=67×5，380=76×5，425=17×5×5，470=94×5，此時(shí)剛好有12個(gè)5，則n的最小值是470。

因此，選擇A選項(xiàng)。

解法二：

第一步，本題考查多位數(shù)問(wèn)題。

第二題，由題意可得，每?jī)蓚�(gè)連續(xù)因數(shù)的差均相等都為9，則前十位數(shù)字為29，38，47，56，65，74，83，92，101，110，可知尾數(shù)為5的數(shù)字與偶數(shù)相乘后的乘積的尾數(shù)為0，110的尾數(shù)也為0，則前十個(gè)數(shù)字相乘的末尾有2個(gè)“0”，根據(jù)這一規(guī)律，可知第11~20位數(shù)字為119~200，可得乘積的末尾有3個(gè)“0”，第21~30位數(shù)字為209~290，可得乘積的末尾有2個(gè)“0”，第31~40位數(shù)字為299~380，可得乘積的末尾有2個(gè)“0”，第41~50位數(shù)字為389~470，可得乘積的末尾有3個(gè)“0”(尾數(shù)為25的數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)相乘后可得的乘積的末尾有2個(gè)“0”)，此時(shí)數(shù)M的末尾有2+3+2+2+3=12個(gè)“0”，則數(shù)n的最小值為470。

因此，選擇A選項(xiàng)。

6. 學(xué)院評(píng)選獎(jiǎng)學(xué)金獲獎(jiǎng)名單時(shí)，要參考各位申請(qǐng)人的平時(shí)成績(jī)。平時(shí)成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)占申請(qǐng)人總數(shù)的，平時(shí)成績(jī)?yōu)锽的人數(shù)占申請(qǐng)人總數(shù)的，平時(shí)成績(jī)?yōu)镃的占申請(qǐng)人總數(shù)的。如果獎(jiǎng)學(xué)金申請(qǐng)人共有70多人，申請(qǐng)人中平時(shí)成績(jī)低于C的可能有()人。

A.12

B.9

C.6

D.3

【答案】D

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，根據(jù)題意“平時(shí)成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)占申請(qǐng)人總數(shù)的”，可知總?cè)藬?shù)為3的倍數(shù);“平時(shí)成績(jī)?yōu)锽的人數(shù)占申請(qǐng)人總數(shù)的”，可知總?cè)藬?shù)為2的倍數(shù);“平時(shí)成績(jī)?yōu)镃的人數(shù)占申請(qǐng)人總數(shù)的”，可知總?cè)藬?shù)為8的倍數(shù);則總?cè)藬?shù)需滿足是24(即3、2、8的公倍數(shù))的倍數(shù)，又獎(jiǎng)學(xué)金申請(qǐng)人共有70多人，所以總?cè)藬?shù)為72人，則：成績(jī)低于C的人數(shù)=總?cè)藬?shù)-A-B-C=72-72×-72×-72×=72-24-36-9=3(人)。因此，選擇D選項(xiàng)。

7. 能被5整除，又是9的倍數(shù)的數(shù)是：

A.27

B.36

C.45

D.55

【答案】C

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，能被5整除，又是9的倍數(shù)，即這個(gè)數(shù)是45的倍數(shù)(5和9的最小公倍數(shù))。代入選項(xiàng)，只有C選項(xiàng)滿足題意。

因此，選擇C選項(xiàng)。

8. 有四個(gè)不大于20且互不相等的自然數(shù)，最大的比最小的大4，且它們的乘積是25740，則其中最小的數(shù)是多少?

A.17

B.15

C.13

D.11

【答案】D

【解析】

解法一：

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，因數(shù)分解可得：25740=2×2×3×3×5×11×13，可以確定其中兩個(gè)數(shù)為11和13(因?yàn)?1和13是質(zhì)數(shù)，且與其他因數(shù)相乘超過(guò)20)，則結(jié)合選項(xiàng)，其中最小的數(shù)是11。

因此，選擇D選項(xiàng)。

解法二：

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題，用代入排除法解題。

第二步，由于問(wèn)其中最小的數(shù)是多少，從最小的選項(xiàng)D代入，25740能被11整除，且25740可分解為11×12×13×15，滿足題意。

因此，選擇D選項(xiàng)。

9. 甲、乙、丙三人繞圓形跑道賽跑。甲跑完一圈要1分鐘，乙跑完一圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒�，F(xiàn)在三個(gè)人同時(shí)同向從同一地點(diǎn)出發(fā)，則()分鐘后三人又在出發(fā)地相遇。

A.3

B.9

C.10

D.15

【答案】D

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，甲跑完一圈要1分鐘，乙跑完一圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒，即甲、乙、丙用的時(shí)間分別為60秒、90秒、75秒，下一次在出發(fā)地相遇時(shí)間應(yīng)為60秒、90秒、75秒的最小公倍數(shù)900秒，即15分鐘。

因此，選擇D選項(xiàng)。

10. 一個(gè)四位整數(shù)能分別被6、10、15整除，且被這三個(gè)數(shù)整除時(shí)所得三個(gè)商的和是315的倍數(shù)，問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少?

A.3780

B.5670

C.7560

D.以上都不對(duì)

【答案】D

【解析】

第一步，本題考查約數(shù)倍數(shù)問(wèn)題。

第二步，設(shè)這個(gè)四位數(shù)為30x(6、10、15的最小公倍數(shù))。則這三個(gè)數(shù)的商分別為30x÷6=5x，30x÷10=3x，30x÷15=2x，三個(gè)數(shù)所得商的和為10x，依據(jù)題意這三個(gè)數(shù)是315的倍數(shù)。若10x=315，則解得30x=945，不是四位數(shù)，不符合題意;若10x=315×2，即有10x=630，解得30x=1890，即滿足條件的最小四位數(shù)是1890。

因此，選擇D選項(xiàng)。

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