2016事業(yè)單位筆試備考:容斥原理

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　　容斥原理問題是事業(yè)單位考試中一個(gè)公共的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，下面華圖教育專家將就容斥原理及相應(yīng)解題方法進(jìn)行說明，以期在同學(xué)在備考過程中做到有的放矢，提高備考效率。

　　所謂容斥原理其本質(zhì)只是一種計(jì)數(shù)方法，是教給我們?nèi)绾问褂?jì)數(shù)過程更簡(jiǎn)單的，那么這到底是一種什么樣的計(jì)數(shù)方法呢?接下來讓我們一起走進(jìn)它，了解了它的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)容斥原理問題真的很簡(jiǎn)單!

　　首先華圖幫您解讀一下“容斥”這兩個(gè)字，既然是計(jì)數(shù)方法，“容”便是先把符合條件的先“包容”進(jìn)來，在這個(gè)過程中可能會(huì)產(chǎn)生重復(fù)的計(jì)數(shù)，所以“斥”便是把重復(fù)計(jì)算的部分“排斥”出去，很終達(dá)到正確的計(jì)數(shù)效果。

　　事業(yè)單位考試中關(guān)于容斥原理的問題一般有兩集合容斥原理問題和三集合容斥原理問題，讓很多同學(xué)苦惱的問題便是這些繁瑣的公式和各種變形，華圖專家在這里提醒大家，千萬(wàn)不要進(jìn)入死記公式的誤區(qū)，不然你就是記住了也不會(huì)用，理解了其本質(zhì)才能達(dá)到舉一反三，融會(huì)貫通的效果。
 

　　為了方便理解，同學(xué)可將符合某個(gè)條件的集合看做圖形的面積，下面結(jié)合文氏圖對(duì)公式進(jìn)行深入理解，兩集合容斥原理公式：

　　|AUB|=|A|+|B|-|A∩B| =總數(shù)-都不符合

　　公式的由來：在對(duì)符合A或者符合B的面積進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，我們將圓A的面積和圓B的面積加起來，(算A時(shí)已經(jīng)包括了AB這部分，加B時(shí)又將AB算了一次)這個(gè)過程中圖中AB部分被重復(fù)計(jì)算了一次，所以要再減去多算的這一次，公式由此而來。而總數(shù)是方框的面積，都不符合的是方框內(nèi)圓圈外的部分。

　　理解到這里我們自己可以對(duì)公式進(jìn)行變形：總數(shù)—都不符合=只符合A+只符合B+符合A且符合B 即圓A內(nèi)藍(lán)色部分+AB白色部分+圓B內(nèi)黃色部分

　　再變 符合A+符合B=只符合A+只符合B+2倍符合A且符合B

　　這些如果都理解了，恭喜你已經(jīng)初步理解了容斥原理問題了

　　接下來趁熱打鐵，讓我們搞定三集合容斥原理問題，

　　三集合容斥原理基本公式：

　　|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|=總數(shù)-都不符合

　　公式由來：如下圖，我們?cè)趯?duì)符合A或者符合B或者符合C的面積進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)A+B+C的過程中對(duì)A和B的交集部分、B和C的交集部分、A和C的交集部分算了兩次，對(duì)A、B、C的交集部分即下圖中綠色部分ABC算了三次，而我們需要的是每個(gè)部分只算一次，所以對(duì)兩個(gè)的交集要減去一次，到這里有同學(xué)又不明白了那ABC部分不是算了三次嗎?為什么不減去兩次，反而還要加上一次呢?注意 在對(duì)兩個(gè)的交集減去一次的過程中(-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|)綠色部分ABC也被減了三次，前面|A|+|B|+|C|加了三次，后面-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|又減了三次，說明ABC部分沒有計(jì)算在內(nèi)即算了0次，所以很后又+|A∩B∩C|此步驟的由來。
 

　　這里需要強(qiáng)調(diào)的是對(duì)容斥原理公式和圖形意義的理解是首要的，基本公式以外的變形公式不需要強(qiáng)行記憶，很后讓我們結(jié)合例題檢驗(yàn)一下自己對(duì)容斥原理問題的理解程度：

　　【例】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)對(duì)集貿(mào)市場(chǎng)36種食品進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)超過保質(zhì)期的7種，防腐劑添加劑不合格的9種，產(chǎn)品外包裝標(biāo)識(shí)不規(guī)范的6種。其中，兩項(xiàng)同時(shí)不合格的5種，三項(xiàng)同時(shí)不合格的2種。問三項(xiàng)全部合格的食品有幾種?( )

　　A14 B21 C23 D32

　　【答案】C

　　【解析】：首先要明確題干中給出的過期、不合格、不規(guī)范為符合條件，三項(xiàng)全合格為三項(xiàng)都不符合條件，如圖用文氏圖表示檢查產(chǎn)品的種數(shù)，三項(xiàng)全部合格食品的種數(shù)就等于總數(shù)減去至少一項(xiàng)不合格的種數(shù)，即 方框的面積減去三個(gè)圓覆蓋住的面積。由三集合容斥原理變形公式：總數(shù)—都不符合=符合A+符合B+符合C—1倍只符合兩個(gè)—2倍三個(gè)條件都符合=7+9+6-1×5-2×2=13=36-都不符合 所以都不符合的等于36-13=23即三項(xiàng)全部合格的食品有23種。

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